El número de Erdos

El número de Erdős es un modo de describir la distancia colaborativa, en lo relativo a trabajos matemáticos entre un autor y Erdős. El término fue acuñado en honor al matemático húngaro Paul Erdős, uno de los escritores más prolíficos de trabajos matemáticos.

Definición

Para que a una persona se le pueda asignar un número Erdős, ésta debe de haber co-escrito un trabajo matemático con un autor con un número Erdős finito. Paul Erdős tiene un número Erdős de cero. Si el número Erdős más bajo de un coautor es X, entonces el número Erdős del autor es X+1.

Erdős escribió cerca de 1500 artículos matemáticos, la mayoría de ellos en co-autoría. Tuvo 509 colaboradores directos; éstas son las personas con un número Erdős de 1. La gente que hubo colaborado con ellos (pero no con Erdős mismo) tiene un número Erdős de 2 (6,984 personas), aquellas personas que han colaborado con gente que tiene un número Erdős de 2 (pero no con Erdős mismo, ni con alguien con un número Erdős de 1) tienen un número Erdős de 3, y así sucesivamente.

Una persona con ninguna conexión a la cadena de coautoría de Erdős tiene un número Erdős indefinido o infinito. Hay por supuesto, espacio para la ambigüedad acerca de lo que constituye un vínculo entre dos autores; según el sitio web del Proyecto de Número de Erdős dice: "Nuestro criterio para la inclusión de un rango entre vértices u y v es alguna investigación colaborativa entre ellos, teniendo como resultado un trabajo publicado. Cualquier número de co-autores adicionales es permitido", pero el Proyecto no incluye publicaciones cuya índole no sea de investigación, como libros de texto, obituarios y cosas por el estilo.

El número de Erdős fue definido por Casper Goffman, un analista matemático cuyo número de Erdős es 1. Goffman publicó sus observaciones en 1969 acerca de la prolífica colaboración de Erdős en un artículo titulado "¿Y cuál es tu número Erdős?".

Biografía de Paul Erdos

Paul Erdos vivió las Matemáticas con el espíritu propio de un místico. Así loo atestiguan sus palabras cuando afirmó que "toda actividad humana, buena o mala, debe llegar a un fin ... excepto la Matemática. La Matemática es eterna, porque sus problemas son finitos".

Existen varios centros de investigación en el mundo que llevan el nombre de Paul Erdös (que se pronuncia erdish) e instituciones que llevan su nombre entre el de sus fundadores. Se pueden contar por centenas los matemáticos que se consideran discípulos suyos. Sin embargo, Paul Erdös no fue nunca miembro de ninguna institución académica, jamás dirigió oficialmente una tesis, ni ocupó ningún cargo en ningún tipo de asociación matemática. Esto nos lleva a considerar a Erdös como a un auténtico fenómeno dentro del mundo de las Matemáticas y a concluir, sin ningún tipo de dudas, que la enorme influencia que ejerció en las Matemáticas del siglo XX fue debida al extraordinario contenido de su obra matemática.

Naturalmente, provocó que sus padres se volvieran extremadamente protectores hacia él. Él se presentó a las matemáticas por sus padres, tanto los propios profesores de matemáticas.

Cuando estallo la Primera Guerra Mundial Paul no tenias mas de un año cuando su padre fue capturado por el ejército ruso, ya que atacaron a las tropas Austro-Húngaro.

En el año de 1920 no fue todo malo para Paul, ya que su padre regreso de Siberia después de haber sido capturado; había aprendido inglés para pasar las largas horas de cautiverio quién después le enseña a Paul (el acento de su inglés es una de las características de Paul a lo largo de su vida).

A pesar de que los judíos tenían ciertas restricciones para entrar a la universidad Paul logra ingresar en 1930. Él estudió para su doctorado en la universidad Péter Pázmany, en Budapest. Obtuvo su doctorado en 1934, tomo una beca post-doctoral en el Manchester, esencialmente, ser obligados a abandonar Hungría, ya que el era judío. Durante su gestión de la beca Erdos viajaba mucho al Reino Unido. Ahí se reunió con Hardy en Cambridge en 1934 y Ulam, también de Cambridge, en 1935.

Los números

A pesar de su mente abierta y ciertamente renacentista, la mayoría del trabajo matemático de Erdös se centró en la Teoría de Números. “Aunque el Universo no existiera, existirían los números”, decía. De sus primeras 64 publicaciones, 61 versaban sobre Teoría de úmeros. En este terreno abordó cuestiones fundamentales y difíciles a las que él aplicaba demostraciones elegantes.

A los 26 años su producción matemática ya superaba a la media de toda una vida. Es importante recalcar la gran importancia que daba a los trabajos hechos en colaboración con otros matemáticos y una buena prueba de ello es que de de sus 1.500 artículos, cerca de 500 fueron realizados en colaboración con otros matemáticos. Siempre defendió fervientemente las demostraciones elementales como la meta de belleza a la que todo matemático debería aspirar.

Paul Erdös falleció el 20 de septiembre de 1996, en el transcurso de una conferencia que impartía en Varsovia. Tenía ochenta y tres años y el en el momento de su muerte portaba la documentación que le acreditaba para su siguiente conferencia en Lituania. Así pues, murió como había vivido siempre, yendo de un lado para otro.

Grafo estrellado

Arriba, grafos estrellados de 0, 1, 2, 3, 4 y 5 vértices; abajo, grafos estrellados regulares

Dado un punto C en el plano y n puntos P_i, i = 0, 1, ..., n, entre los cuales no hay tres alineados, llamamos grafo estrellado de centro C y n vértices al conjunto de segmentos CP_i. Si los puntos P_i están en los vértices de un polígono regular y C en su centro, se obtienen grafos estrellados regulares.

Así, para n = 0, 1, 2, 3, 4 y 5, se pueden obtener las siguientes figuras:

Otra definición de grafo estrellado coicidiría con la de "haz de segmentos", esto es, un conjunto de segmentos cuyo centro es común en todos ellos.³ En el gráfico adyacente, sólo la figura cuyo fondo es un cuadrado se atiene a esta definición, más estricta.

Polígono estrellado

Si a partir de un polígono regular de p lados se une un determinado vértice con otro no consecutivo de orden q ("avanzando" q vértices) y se continúa el proceso del mismo modo hasta alcanzar el vértice inicial, se obtiene un polígono regular estrellado, cuyos lados y ángulos son todos iguales. La figura que se obtiene puede representarse mediante la expresión {p/q}, siendo q el número de vértices contados a partir del primero. Por ejemplo, a partir de un pentágono regular (p = 5) puede trazarse una estrella de cinco puntas uniendo el primer vértice con el tercero (q = 2), el tercero con el quinto, el quinto con el segundo, el segundo con el cuarto y el cuarto con el primero. Se obtiene así el polígono estrellado {5/2}.

Para generar un polígono estrellado, la fracción p/q debe ser irreducible, esto es, p y q han de ser primos relativos, obteniéndose en tal caso el mismo polígono que en el caso p/p-q.⁴

La notación {p/q} se debe a Ludwig Schläfli.

Función biyectiva

(Redirigido desde Biyectiva)

Ejemplo de función biyectiva.

En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagendistinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente,

Una implicación directa de lo anterior, es que en una función biyectiva la cardinalidad del conjunto de salida o dominio, y el de llegada o codominio, son iguales. Esto también se puede ver en el ejemplo, donde |X|=|Y|=4.

Funcion Sobreyectiva

Función sobreyectiva

(Redirigido desde Sobreyectiva)

Ejemplo de función sobreyectiva.

En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Formalmente,

Los siguientes diagramas corresponden a función sobreyectiva:

Combinatoria

La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que se dedica a buscar procedimientos y estrategias para el recuento de los elementos de un conjunto o la forma de agrupar los elementos de un conjunto.

Gráfica Bipartita

Una gráfica G es bipartita si existe una partición de los vértices de G en dos conjuntos V1 y V2 (no vacios) de forma que cada arista de G tenga un extremo en V1 y el otro en V2

Por ejemplo, la gráfica de la siguiente figura es bipartita:

Los véritces rojos forman el conjunto V1 y los vértices verdes el conjunto de vértices V2